將正整數n分解成一些正整數的和，使得這些正整數的乘積最大

題：給定一大於1的正整數n分解成一些正整數的和，使得這些正整數的乘積最大
先考慮將n分成兩數和的情況，即n＝a＋b。

(a, b)＝(1, n－1)，即n＝1＋(n－1)，則1×(n－1)＜n，所以不能將n分拆成1，否則成愈乘愈小。

(a, b)＝(2, n－2)，即n＝2＋(n－2)，則2×(n－2)＝2n－4，當n＞4時，2n－4＞n，所以當n超過4的時候，就要將n拆出2和(n－2)，才能使乘積變大。

因此，若n＝Σa_i，其中a_i為正整數，使得這些a_i的乘積最大，則a_i必為2或3或4，(因為若a_i＞4，則可將a_i再分成2和a_i－2)，又2×2＝4，所以只要考慮a_i是2還是3即可。

如果n＝2或3或4，n自己會大於(或等於)任何它分拆出的數的乘積。

如果n＝5，分成2和3，則2×3會是最大的情況。

如果n＝6＝2＋2＋2＝3＋3，由於2×2×2＜3×3，因此，只要能湊出3個2，將它換成2個3，乘積會比較大。

故我們可以得到以下的結論：

(1)若n＝6k，k為自然數，則將n分成2k個3的和，此時這2k個3的乘積3^2k為最大。

(2)若n＝6k＋1＝6(k－1)＋2＋2＋3，k為自然數，則將n分成2k－1個3與2個2的和，此時這些數的乘積3^2k－1×2²為最大。

(3)若n＝6k＋2，k為自然數或0，則將n分成2k個3與1個2的和，此時這些數的乘積3^2k×2為最大。

(4)若n＝6k＋3，k為自然數或0，則將n分成2k＋1個3的和，此時這2k＋1個3的乘積3^2k＋1為最大。

(5)若n＝6k＋4，k為自然數或0，則將n分成2k個3與2個2的和，此時這些數的乘積3^2k×2²為最大。

(6)若n＝6k＋5，k為自然數或0，則將n分成2k＋1個3與1個2的和，此時這些數的乘積3^2k＋1×2為最大。