一道不等式(筆記)

已知a、b、c為正實數，且abc＝1，試證：

。

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不失一般性，令，則且。故由契比雪夫總和不等式(Chebyshev’s sum inequality)知，

故只要論證右式大於等於3/2即可。考慮最右邊的括號，由算術平均數(arithmetic mean)大於等於調和平均數(harmonic mean)，可得

 又由柯西-史瓦茲不等式(Cauchy-Schwarz inequality)，

 

合併可得

 

 

最後一個不等式則是運用算術平均數大於等於幾何平均數(geometric mean)。很明顯的，等號成立的條件為a＝b＝c＝1。