一道不等式及其推廣

偶然在中研院數學所發行的《數學傳播》第31卷第2期中有篇文章＜不等式之基本解題方法＞看到一個不等式的題目。

【命題一】：

若，則：。

該文作者利用排序不等式(arrangement inequality)證明。此題似乎可以對應到高中課本習題中的一道證明題：

【命題二】：

若，則。

課本的證明題並不難處理：因為，所以和也都是正數，因此利用算幾不等式()，，移項即得。□

我發現【命題一】亦可利用算術平均術大於或等於調和平均數()的方式證明，遂拿此題問同學，結果有兩位同學分別給出不同的證法，其中之一經提示後，亦得與我雷同之證明方式，但也另外提出利用柯西不等式(Cauchy’s inequality)的證法。另一名同學使用的是算幾不等式的方法。

〈證法一〉：(利用)：

若，則算幾不等式與等號成立的條件都是。令，，，則改寫原命題的左式

〈證法二〉：(利用)：

由算術平均術大於或等於調和平均數，

     

〈證法三〉：(利用科西不等式)：

由柯西不等式：

           

此外，由【命題一】和【命題二】也可作類似的推廣，分子只有一項，分母有項的【命題三】，以及分子有項，分母有項的【命題四】：

【命題三】：

對於任意大於1的自然數，若均為正實數，則：

這裡的指的是。

證明：

令，，因為均為正實數，所以對於所有的，亦為正實數，則由，

又，故

移項得

即

故

證畢。□

【命題四】：

對於任意大於1的自然數，若均為正實數，則：

這裡的，為中任意個數的和，而則是跑過所有個相異的中的之和。

證明：

令，，因為均為正實數，所以對於所有的，亦為正實數，則由，

又

故

移項得

即

故

證畢。□

舉例來說：若均為正實數，則：

。

另外也可以參考這一篇：關於三角形邊長的不等式(筆記)，這也算是另一種推廣。