2013年3月28日 星期四

將正整數n分解成一些正整數的和，使得這些正整數的乘積最大

題：給定一大於1的正整數n分解成一些正整數的和，使得這些正整數的乘積最大
先考慮將n分成兩數和的情況，即n＝a＋b。

(a, b)＝(1, n－1)，即n＝1＋(n－1)，則1×(n－1)＜n，所以不能將n分拆成1，否則成愈乘愈小。

(a, b)＝(2, n－2)，即n＝2＋(n－2)，則2×(n－2)＝2n－4，當n＞4時，2n－4＞n，所以當n超過4的時候，就要將n拆出2和(n－2)，才能使乘積變大。

因此，若n＝Σai，其中ai為正整數，使得這些ai的乘積最大，則ai必為2或3或4，(因為若ai＞4，則可將ai再分成2和ai－2)，又2×2＝4，所以只要考慮ai是2還是3即可。

如果n＝2或3或4，n自己會大於(或等於)任何它分拆出的數的乘積。

如果n＝5，分成2和3，則2×3會是最大的情況。

如果n＝6＝2＋2＋2＝3＋3，由於2×2×2＜3×3，因此，只要能湊出3個2，將它換成2個3，乘積會比較大。

故我們可以得到以下的結論：

(1)若n＝6k，k為自然數，則將n分成2k個3的和，此時這2k個3的乘積32k為最大。

(2)若n＝6k＋1＝6(k－1)＋2＋2＋3，k為自然數，則將n分成2k－1個3與2個2的和，此時這些數的乘積32k－1×22為最大。

(3)若n＝6k＋2，k為自然數或0，則將n分成2k個3與1個2的和，此時這些數的乘積32k×2為最大。

(4)若n＝6k＋3，k為自然數或0，則將n分成2k＋1個3的和，此時這2k＋1個3的乘積32k＋1為最大。

(5)若n＝6k＋4，k為自然數或0，則將n分成2k個3與2個2的和，此時這些數的乘積32k×22為最大。

(6)若n＝6k＋5，k為自然數或0，則將n分成2k＋1個3與1個2的和，此時這些數的乘積32k＋1×2為最大。
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2013年3月27日 星期三

從一副與兩副撲克牌中，任取兩張點數和為6，機率是否相同？


從一副撲克牌中，任抽兩張，點數和為6的機率為p1，從兩副撲克牌中，任抽兩張，點數和為6的機率為p2，則p1是否等於p2？
先從簡單一點的情形看起：若有編號1~10的十張牌，任取2張，點數和為6的機率為何？簡單列表就一目瞭然：機率為。
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當然也可以直接計算：，其中分子的2為(1點＋5點)和(2點＋4點)兩種情形。
利用類似方法，若考慮一整副撲克牌52張，每個點數都13張(假設A為1，J為11，Q為12，K為13)，則所有情形可以考慮下表，其中最上列與最左行的4個相同的數字，可以分別視為黑桃、紅心、方塊、梅花。故任取兩張點數和為6的機率為。同理，若使用兩副撲克牌，任取兩張點數和為6的機率為。
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一般來說，從n副撲克牌中，任取2張，點數和為k的機率為，其中。
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