正五邊形面積(課堂筆記)

已進入期末考週，進度也上完了，前天在課堂上不經易的問了學生：「正五邊形的面積怎麼算？」沒想到學生們竟然真的很認真的想要計算這個問題。(說實在的，我也沒有真的去算過它。)

若要用基礎幾何來算，我的第一個想法是，要算五邊形面積，不如算三角形面積。如果ABCDE是邊長為一的正五邊形，作//，//，其中F、G在直線CD上，則三角形AFG的面積就會等於正五邊形ABCDE的面積。

要算三角形AFG的底邊長和高，我們可以回想下面這個國中題目中常見的三角形：，，則很容易計算出∠P＝36°，且三角形PQR相似於三角形QTR，故可算出這個等腰三角形的腰與底邊的比為，比值為黃金比例。再利用商高定理，可以算出此三角形的高與底邊的比為。

在正五邊形ABCDE中，三角形ACD、 AHI、ABI都與三角形PQR相似，因此可以算得，A到底邊的距離為，故三角形AFG面積為，也就是我們要求的正五邊形ABCDE的面積。

如果用三角函數處理這個問題，只要連接正五邊形的正中心點與頂點，就可以得到五個頂角都是72°的等腰三角形，簡單畫一下就可以得到面積為。