猜拳輸、贏的平方和與標準差(課堂筆記)

前幾天教到數據分析單元的平均數與標準差，讓學生作一個活動：

先任找幾個同學，兩兩互相猜拳決定輸贏，每人都記下自己輸贏的次數，然後計算所有贏的次數的平方和，與輸的次數的平方和，比較兩個數值的大小。

例如說，找9個人，每個人都與其他8人猜拳，記下輸贏的次數：

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
贏	4	2	6	4	5	3	2	3	7
輸	4	6	2	4	3	5	6	5	1

贏的次數的平方和：4²+2²+6²+4²+5²+3²+2²+3²+7²=168

輸的次數的平方和：4²+6²+2²+4²+3²+5²+6²+5²+1²=168

這兩個數值會相等，原因為何？

才教完標準差，學生的思考方向果真就往標準差的方向去思考。

學生的討論：

設贏的次數為X：x₁, x₂,…, x₉，輸的次數為Y：y₁, y₂,…, y₉。首先X和Y的算術平均數會相等，而且值為μ=(x_i+y_i)/2=4，所以∣x_i–μ∣=∣y_i–μ∣，因此X和Y的標準差一定會相等。而σ_x²=(Σx_i²–9μ²)/9，σ_y²=(Σy_i²–9μ²)/9，所以Σx_i²=Σy_i²。

我後來跟學生說，我們學過Y=aX+b，則σ_y=∣a∣σ_x。既然x_i+y_i=8一定會成立，即y_i=–x_i+8，那麼X和Y的標準差相等，不就一定會成立嗎！

還有一個學生，直接用簡單的代數，就得到這個結果：

設共有n個學生，則只要知道贏的總次數與輸的總次數會相等，即可得
Σx_i²–Σy_i²=Σ(x_i²–y_i²)= Σ(x_i+y_i) (x_i–y_i)=(n–1)Σ(x_i–y_i)= (n–1) (Σx_i–Σy_i)=0