傍心連成的三角形與原三角形的面積關係

先把各點和各角規定好：△ABC的三個角平分線分別交外接圓於P、Q、R，內心為I，傍心依次為X、Y、Z。令∠A＝2α，∠B＝2β，∠C＝2γ。

如下圖，因為∠BCP與∠BAP對同弧BP，∠CBP與∠CAP對同弧CP，所以∠BCP＝∠CBP＝α，所以，又，所以，故知P點為△BIC的外接圓圓心，而且和分別為∠C的內、外角平分線，所以∠ICX為直角，故X也會在△BIC的外接圓上，因此△ICP和△CPX的面積相等。同理，△IBP和△BPX的面積相等，△ICQ和△CQY的面積相等，△IAQ和△AQY的面積相等，△IAR和△ARZ的面積相等，△IBR和△BRZ的面積相等。故△XYZ的面積恰為六邊形ARBPCQ的兩倍。

 

因為P、Q、R分別為、、的中點，所以△PQR的面積為△XYZ面積的四分之一。若考慮△PQR各角所對的弧，很容易可得∠P＝β＋γ，∠Q＝γ＋α，∠R＝α＋β。設△ABC的外接圓半徑為r，則△ABC的面積可表示為2r²．sin2α．sin2β．sin2γ，△PQR的面積可表示為2r²．sin(α＋β)．sin(β＋γ)．sin(γ＋α)。利用正弦函數的二倍角公式，可把△ABC的面積寫成16r²．sinα．sinβ．sinγ．cosα．cosβ．cosγ，因為α＋β＋γ＝90°，所以可把△PQR的面積寫成2r²．cosα．cosβ．cosγ，因此可知△ABC面積：△PQR面積＝8 sinα．sinβ．sinγ：1。

那麼究竟△ABC的面積和△PQR的面積誰比較大，這就要考慮8 sinα．sinβ．sinγ到底會大於1還是小於1了。由算幾不等式知，，又因為α＋β＋γ＝90°，而正弦函數在0~90°的範圍內是凹口向下，因此，故8 sinα．sinβ．sinγ≦1，即△ABC的面積不會大於△PQR的面積。

其實若要比較△ABC的面積和△PQR的面積大小，也可以直接由和角公式與算幾不等式推得：