二項式定理的應用(二)(課堂筆記)

若考慮(x＋1)^m+n＝(x＋1)^m(x＋1)ⁿ，這裡的m、n均為正整數，由二項式定理展開，可得：

 (＊)

令x＝1，則得

 (1)

考慮(＊)的展開式中，x^r項的係數：

1. 若0≦r≦n≦m，可得

 (2-1)

2. 若0≦n≦r≦m，可得

 (2-2)

如果(2-1)的結論中，取r＝m＝n，則有

 (2-1-1)

除了看(＊)式中x^r項的係數外，(2-1)、(2-2)的結論，也可以從實際的例子中得到：

如果要從m個男生、n個女生中，其中m≧n，任意選取r個人出來的方法數，有種；但也可以討論有r個男生搭配0個女生、(r－1)個男生搭配1個女生、(r－2)個男生搭配2個女生、…等的方法數的總和，分別為。若r≦n，則得(2-1)式，若r≧n，則得(2-2)式。

 另外，在(2-2)中，若取n＝1，則得

也就是「巴斯卡定理」的結果。