碎形

我父親六十歲農曆大壽當天，我卻獲悉另外兩個不太妙的消息：我家的貓死掉了、曼德布洛特也死掉了（C’est la vie!）。家父生日和貓死掉算是家務事，但曼德布洛特這位大師的殞落，就算是數學界甚至是整個科學界的新聞了。

曼德布洛特(Benoît Mandelbrot, 1924,11,20-2010,10,14)是位法裔美籍的數學家，出生於波蘭華沙，1936年全家搬到法國，1958年定居於美國。他在1975年的時候創造了「碎形(fractal)」這個字，fractal取自拉丁文「fractus」，意思是碎裂、不規則的石頭。碎形並不是一個特定的形狀，簡略來說，一個可以稱為碎形的圖案，必須可以有任意小的尺度，而且是自我相似(self-similar)或幾乎是自我相似的，用歐氏幾何的語言幾乎無法描述它，以致於在計算其維度時，需要重新定義「維度」的概念：Hausdorff維度(Hausdorff dimension，Hausdorff也是一位數學家)，利用碎形自我相似的比例來計算。碎形的圖形算出來的維度多半不是整數維度。

其實早在十九世紀末的時候，數學家就發現了碎形(當然，碎形的名稱在當時仍未出現)，最早被發現的碎形叫「康托集合」(Cantor Set)，在西元1883年由德國數學家Georg Cantor發現並命名，它是將線段抹去中間的三分之一(不含端點)，再將剩餘的兩段，各自抹去中間的三分之一，以此類推，無限次做下去。以下是製作康托集合的前五個步驟：

康托集合的維度介於點和線的維度之間，其值為，約等於0.6309。

西元1904年時，瑞典數學家馮柯赫(Helge von Koch)發明了一種特別的曲線：柯赫曲線(下圖)，作法是將一條線段中間的三分之一，往上拉出一個正三角形，再把這個三角形的底部去掉，每一段再重覆這個步驟，作無限多次，可以得到維度為(約為1.2619)的圖形，若一開始由正三角形的三邊往外拉出柯赫曲線，就稱為柯赫雪花(下下圖)。若仔細計算，可以發現柯赫雪花的周長無限，但圍起來的面積卻是有限的。柯赫曲線中，每一個步驟中所建立的V字型若隨機往上或往下，得到的曲線看起來會變得凹凹凸凸如海岸線一樣。自然界中有許許多多的碎形，像海岸線、雲朵等，甚至人體內血管的分佈情形也是碎形。

柯赫曲線

柯赫雪花

維度為(約為1.5850)的沙賓斯基三角形(如下圖)，是在1916年由波蘭數學家沙賓斯基(Waclaw Sierpinski, 1882-1969)造出來的，作法是將實心三角形沿著各邊中點連線，挖去中間的三角形，重覆此動作無限多次，其面積為0。

沙賓斯基三角形

     除了柯赫曲線、沙賓斯基三角形這種維度不為整數的圖形之外，義大利數學家皮亞諾(Giuseppe Peano, 1858-1932)在1890年發表一種可以填滿平面的曲線，也震撼了當時的數學界。在數學上，「線」是一維的物件，能計算長度，但沒有寬度，要拿線來填滿二維的平面，怎麼可能呢？皮亞諾確實辦到了，他發現一種方式，可以在平面中放入一條通過正方形內部每一個點的曲線，稱為皮亞諾曲線(下圖上)，另一位數學家希爾伯特(David Hilbert, 1862-1943)在一年後也用另一個方式得到可以填滿二維平面的曲線(下圖下)，Peano curve和Hilbert curve的Hausdorff維度都是2。

 還有一些有趣的碎形圖案，是利用自我相似的性質，可以在電腦上用迭代的方式產生，如下面兩個常見的圖形：

 曼德布洛特就是在電腦上用簡單的迭代方程式，製造一種特別的集合，這個集合表現在複數平面上的點，實在令人著迷，它無法用「人工」的方式畫出來(以下的幾個圖形，都取自維基百科)。曼德布洛特考慮的是這類的迭代方程式，其中和常數都是複數，若令初始值代入後，迭代任意多次都能讓為有限的值，則將滿足這個條件的所構成的集合，叫做「曼德布洛特集」(Mandelbrot Set)。曼德布洛特集最吸引人的地方是，放大尺度來看，仍會發現本身仍然有曼德布洛特集在其內，若將能讓此迭代方程式發散的常數，依發散到無限遠點的速度予以著色，則無論在縮小任何尺度之下來看曼德布洛特集，都可得到目不暇己的繽紛圖案。

  [註]：以下圖案都是從維基百科中截取的。

【延伸閱讀】：

我們從網路上找幾張曼德布洛特集的圖案，有興趣的話也可以自行上網搜尋，或者翻閱一些相關的書籍：

天下文化出版社的《大自然的遊戲》(Ian Stewart著，葉李華譯)、《混沌》(James Gleick著，林和譯)，部份的章節有談到碎形、混沌理論，混沌理論和碎形幾乎脫不了關連，由混沌理論的發展和應用，就可推知碎形的重要性。

牛頓出版社的《渾沌魔鏡》(John Briggs & F. David Peat著，王彥文譯)、商周出版社的《深奧的簡潔》(John Gribbin著，馬自恆譯)都更深入的介紹碎形。網路上的資料也相當多，維基百科(WIKIPEDIA)上可以看到相當多精美的曼德布洛特集的圖形，也介紹其他相關的知識和名詞，可以搜尋幾個關鍵字：Mandelbrot、Mandelbrot set、Fractal、Julia set、Space-filling curve等。