碎形維度

碎形維度(Hausdorff dimension)的計算，簡言之，就是利用其自我相似的縮放比例關係來計算，而且它必須跟以往印象中整數維度的觀念不相違背。這裡講的相似，是指一個圖形經過縮放之後可以和另一個圖形重合，我們就說這兩個圖形相似，而自我相似就是將該圖形中的一部份放大，會跟原本的圖形重合，則稱它自我相似。簡單來說，若把圖形縮放1/r倍後，在整個圖形中可以得到k個和原本相似的圖形，列出k=r^d的式子，則稱該圖形為d維的圖形*。以線段來說，若平均分割成n等分，則每一等分可視為縮放1/n倍，且每一等分的線段均與原來的線段相似，故可以得到n=n^d，得d=1，即與平常印象中「線是一維圖形」相同。再看看正方形的Hausdorff維度是否仍為2：若將一正方形如下圖的方式切割成4塊(k=4)，則每一小塊正方形的邊長都是原來的一半，即縮放1/2倍(r=2)，代入k=r^d，即4=2^d，得d=2，即正方形為二維圖形。正立方體(正六面體)也可依照類似的方式來處理：縮放1/2倍，有8塊相似的小正立方體，可列式8=2^d，得d=3(維)。

我們可以看看Cantor set、Koch curve、Sierpinski triangle等圖形的Hausdorff維度：

若將上圖當成Cantor set(實際上真正的Cantor set幾乎看不到線段的部份)，下方的線段為量尺，將一線段裁去中間三分之一的部份，再將剩餘兩線段再裁去中間三分之一，一直無止盡的作下去，我們可觀察到若將原尺寸縮放1/3，可以在原圖形中得到2個一模一樣的Cantor set，故可列式2=3^d，若能找出d的值，即為其維度。

上圖為Koch curve，可以看到若將其尺寸縮放1/3，一樣可以在原圖形中找到4個小尺寸的Koch curve，故可列式4=3^d，這裡可以發現，Koch curve的維度恰好是Cantor set維度的2倍(why?)。

從上圖可知Sierpinski triangle縮放1/2倍後，可得3個較小尺寸的Sierpinski triangle，可列式3=2^d。當然，若將尺寸縮放1/4倍，可以得到9個更小尺寸的Sierpinski triangle，列出來的式子為9=4^d，利用指數律的運算，可以知道這裡算出來的d值，和3=2^d算出來的d值相同。(回頭檢驗Cantor set和Koch curve，更改縮放尺寸之後，是否也有一樣的結果？)

前幾例的維度，很明顯可以知道不可能是正整數(不過，至少還可以判斷出其維度介於哪兩個整數之間)，實際上，若b=a^d，我們可以把d的值記為log_ab，以碎形維度的簡單定義方式：若縮放1/r倍後可得<!--[if !msEquation]--> <!--[endif]-->個和原本相似的圖形，所列出k=r^d的d值即為log_rk。所以Cantor set的維度為log₃2、Koch curve的維度為log₃4、 Sierpinski triangle的維度為log₂3。

*維度不只有Hausdorff dimension的定義，還有其他的定義方式。實際上Hausdorff dimension的嚴格定義較本文描述的方式嚴謹，有興趣者可以參看林琦焜教授在中研院數學所發行的《數學傳播》第25卷第1期的文章〈碎形專題－從Cantor集到碎形〉，或是上Wikipedia網站搜尋Hausdorff dimension。