《幾何原本》與平行公設

     若問是誰架構了現在的數學系統，這功勞應該首推希臘數學家歐幾里德(Euclid, 約300B.C.)。歐幾里德的《幾何原本》(Elements)由公設、公理經由邏輯推理證明而得到的定理(命題) 建立起一套完整的系統，，它帶給後世一個學習數學的基準，實際上《幾何原本》在往後的二十個世紀中，都一直被當成重要的教科書，甚至有人說，它的「發行量」，僅次於《聖經》。在中國歷史裡，明朝的徐光啟(1562-1633)和義大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)於1607年合譯了《幾何原本》的前6卷，這是《幾何原本》第一個中譯的版本，其餘的部份則在1857年由清朝的李善蘭(1810-1882)和英國傳教士Alexander Wylie(1815-1887)接續譯完。其實Elements應該只能翻成《原本》，但因為徐光啟和利瑪竇翻譯的前6卷都是平面幾何的部份，故他們將書名冠上「幾何」二字，李善蘭譯的幾卷雖然述及數論和立體幾何，但後世仍稱該書為《幾何原本》。

《幾何原本》的13卷內容從5條公設和5條公理開始，在各卷前加上「定義」，利用邏輯演繹的方式，有順序的證明一個一個的命題，較後面的命題可以沿用前面的命題當作證明的工具。梁宗巨在《歐幾里得．幾何原本》(九章出版社)的導言〈歐幾里得和他的《幾何原本》〉中提到：「公理化結構是近代數學的主要特徵，而《原本》是完成公理化結構的最早典範。」「《原本》開創了數學公理化的正確道路，對整個數學的發展影響，超越了歷史上任何其他著作。」雖然《幾何原本》的公理化系統在現代數學來看並不夠完備(例如沒有連續性公理)，但仍不掩其公理化系統先趨的鋒芒。所謂「定義」，是闡述數學上一些基本的元素要件和名稱，例如第一卷裡的定義提到：點是沒有部份的、線只有長度但沒有寬度、面只有長度和寬度、兩直線交成的鄰角彼此相等時稱為直角、大於直角的角為鈍角、小於直角的角為銳角…等。5個「公設」是：1.由任意點到任意點可作直線 2.一條有限直線可以任意延長 3.以任意一點為心和任意距離可以畫圓 4.凡直角都相等 5.同平面上一條直線與兩條直線相交，若在某一側的兩內角和小於兩個直角，則兩直線必在這一側相交。「公理」是：等於同量的量彼此相等、等量加等量其和必相等、等量減等量其差必相等、能彼此重合的物體為全等、整體大於部份。

定義、公設、公理是不需經過證明而直接應用的，但是後來的數學家，一直對第5公設存有疑慮，它的敘述比其它公設都長，而且不如其他公設那麼直觀，它在《幾何原本》裡也不像其他公設那麼常被用到，似乎歐幾里德也盡量避免用到它(直到第29個命題才用到第5公設)，因此數學家紛紛想要利用前4個公設，設法推導出第5公設，但都要用到其他未被證明的概念，這些概念也被視為與第5公設等價的公設，統稱為「平行公設」，例如：過線外一點只能有一條直線與其平行、三角形的內角和為兩個直角、不共線的三點僅能決定一圓…等。兩條直線「平行」，是指兩直線無限延伸，且兩線之間的距離保持相等，但「無限」這個用法，也因為不夠具體，難以有效的闡述，而在《幾何原本》裡也儘可能的避免。

 

     俄國數學家羅巴切夫斯基(Никола́й Ива́нович Лобаче́вский, 1792-1856)更改了歐幾里德的第五公設，讓通過直線外一點至少有兩條直線與其平行，建立了不同於歐氏幾何的另一套系統，稱為羅氏幾何或雙曲幾何，想像一下，在雙曲面(像馬鞍的形狀)上兩條平行直線無限延長後，兩線的距離並非定值，反而相距無窮遠。另一個常見的非歐幾何稱為黎曼幾何或橢圓幾何，球面上的幾何就是橢圓幾何最基本的型式，一個直觀的性質是：在球面上畫一個三角形，其內角和大於180度。例如在地球儀上，沿著經線和緯線，連接北極、赤道上東經0度和90度的點所形成的三角形，則每一內角都是直角。(在本段中所提到雙曲面和球面上的直線，是指連接兩點可得到最短距離的線，平行是指同時垂直於一條直線的兩線。)