兩道簡單的幾何題目

好久沒經營這個blog了，把前陣子校內競賽自己設計覺得還蠻喜歡的預選題(可惜沒被選上)放一些上來。

【題】設為一圓的直徑，A₁、A₂、…、A_n為圓上的點，對於所有的i＝1～n，作，其中D_i為垂足，若，試證：

Pf:

對於所有的i＝1～n，因為A_i在圓上，所以∠PA_iQ＝90°，故，且由母子相似性質知，，，及已知條件，可得

由於，i＝1～n，所以。故

 

 得證□

其實命題時上面這個題目的想法是從猜拳輸、贏的平方和與標準差出來的，簡單對照一下，就可以發現它的關聯了。

【題】設三角形ABC的邊長分別為a、b、c，外接圓半徑長為R，內切圓半徑長為r，三角形DEF的三邊長分別為a＋b、b＋c、c＋a，試求三角形DEF的內切圓半徑長。

Sol:

設三角形DEF的內切圓半徑為r’，則三角形DEF的面積等於(a＋b＋c) r’，又由海龍公式可知三角形DEF的面積等於，所以。又因三角形ABC面積等於移項得，所以。