一道固定點的問題(筆記)

上禮拜去參加一場「差異化教學」的研習，左台益教授在演講的過程中提到他曾在師大的通識課裡，給了學生一道有趣的問題，題目大概是這樣的：

海盜搶了寶藏後，想在一個小島上埋寶藏，他從椰子樹下T走到一塊大石頭A處，順時針方向旋轉90°，走相同的距離到達C點，再從C點走到另一塊大石頭B點處，順時針方向旋轉90°，再走相同的距離到D點，然後在D和T的中點M處埋下寶藏。但因颱風之故，椰子樹被吹倒不見了，一年後海盜來到島上，只見大石頭A和B，請問他要怎麼找到寶藏？

我的想法是這樣：

顯然，從題意來看，如果椰子樹T消失了，如果海盜還能找到寶藏，那就表示埋寶藏P的地點一定和T無關，只能跟A和B有關，所以P應該是一個固定點(fixed point)。所以，在複數平面上考慮，令A(0)，C(z₁)，B(z₂)。因為T為C對A順時針旋轉90°，故T(－iz₁)，又D為C對B逆時針旋轉90°，故D(z₂＋i(z₁＋z₂))，所以，與C(z₁)和T(－iz₁)無關。所以把任意一點當成原本的椰子樹，照著原本埋寶藏的方法去尋找，就可以找到寶藏了。如果把這「任意一點」取大石頭A點，則寶藏的的位置即A對B逆時針方向旋轉90°後，再和A取中點的地方，這也就是M點座標所表示的意思。