[(2+√6)^n]的個位數字

這是最近看到的一道題，出處是國立清水高中98學年的教甄考題，我覺得蠻有趣的，實際上我也花了一點時間思考。不知道還有沒有其他的解法？

題目是：求的個位數，這裡的[ ]是高斯符號。

首先將作二項式定理展開，得到

顯然這裡有許多項都有，因為作二項式定理展開之後，各項與上式幾乎相同，只有k為奇數時，即將各項化成最簡根式後仍有的項的性質符號要改成負的，所以，而且因為，故

，，

因此，

由上討論雖然可以算出的值，那要怎麼判斷個位數字呢？我們利用遞迴關係式。實際上和是x²－4x－2＝0的根，此方程式即遞迴關係式 a_n＋2＝4a_n＋1＋2a_n 的特徵方程式，若這個遞迴式的第n項為，將n＝0和1代入，即得a₀＝2，a₁＝4。所以我們可以寫出

(注意：2是a₀的值)關注一下這個遞廻式的個位數字，是規律的4, 0, 8, 2的循環，因此的個位數字為

完成了！所以的個位數字是1。