2013年1月20日 星期日

斐波那契數的矩陣表示法及兩個相關公式

波那契數列(Fibonacci Sequence)的遞迴式是f0=0f1=1fk+1=k+fk-1,其中k為任意的自然數。可以利用


(1)                      

的關係,以及的特徵值(eigenvalues),以及相對應的特徵向量(eigenvectors)分別為,得到

                   

 ,對應(1)的矩陣中的元,即可得


(以上的內容,亦可參考前一篇:The general term of the Fibonacci Sequence)

 (1),取行列式值,即可得

(2)                                                              




 樣由(1),取k=m+n,因為



計算矩陣的第(2,2)的元,可以得到


(3)                                                            


當然,也可以利用數學歸納法得到(2)和(3)的結果。

察下面的圖形,其中∠B為直角,的長度分別為f2nf2n+1f2n+2,很容易推得的長度分別為f2n-1f2n+1




(2)中的k=2n,移項後得f2n-1f2n+11+ f2n 2,即,若且唯若,故由SAS相似性質知,三角形ACD~三角形ECA,故∠CAD=∠AEC=α,所以三角形ACD的外角θ=α+β,即 


2013年1月17日 星期四

The general term of the Fibonacci Sequence

The Fibonacci sequence <Fn> :0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… which satisfies F0=0, F1=1, and Fk+2=Fk+1+Fk. The goal of this article is to find the general form of the kth term  Fk of  the Fibonacci sequence.

Let .

Consider , that is uk+1= Auk , where .

Because the characteristic polynomial of A is, the eigenvalues of A areand, and the corresponding eigenvectors are and . Of course {x1, x2} are linearly independent and generate uk.

Write u0=c1x1+c2x2, that is, and it’s easy to solve the coefficients and  . Hence

u1=c1Ax1+c2Ax2= c1λ1x1+c2λ2x2 ,
 … ,
uk=c1Akx1+c2Akx2= c1λ1kx1+c2λ2kx2
 .
Thus
.