Kyle's blog (廖培凱)

2014年3月26日星期三

畢氏音階與三分損益法

提到音樂和數學的關係，首先想到的就是音頻的比例與音程的關係。完全8度的音程，頻率比為1:2，即升8度時，頻率會變成2倍，因為振動的頻率f和波長λ成反比，所以振動一根半單位長的弦發出的音，會與振動一根一單位長的弦發出的音一樣，只是高8度。

畢氏音階的造法，稱為「五度音循環法」：先作一等比數列，首項a₁＝1，公比r＝3/2，列出6項，再加上往回推的一項a₀＝2/3，得

，將a_n的每一項作乘以2或除以2的動作，使之介於1和2之間，再由小到大重新排序得另一數列

，此即為畢氏音階C(Do)、D(Re)、E(Mi)、F(Fa)、G(Sol)、A(La)、B(Si)的頻率比。

利用「三分損益法」，也能得到畢氏音階。三分損益法交替利用三分損一(乘以三分之二)和三分益一(乘以三分之四)的方式製作竹管，即管長分別為

個單位長，由長至短重新排序得到

個單位長的「宮C(Do)、商D(Re)、角E(Mi)、徵G(Sol)、羽A(La)」五聲音階，若再加上

個單位和

個單位的管長，即得「變徵F(Fa)」和「變宮B(Si)」的兩音。考慮管長的倒數比，即頻率比，對照一下畢氏音階，完全一樣。

另外可以注意到的是，畢氏音階相鄰全音(C-D、D-E、F-G、G-A、A-B)的頻率比是

倍，相鄰半音(E-F、A-C’)的頻率比是

倍。

畢氏音階的頻率比與波長比

音名	C	D	E	F	G	A	B	C’
頻率比
≒	1	1.13	1.27	1.33	1.5	1.69	1.90	2
波長比
≒	1	0.89	0.79	0.75	0.67	0.59	0.53	0.5

2013年12月16日星期一

在座標平面上要找出通過固定幾個點的函數會有很多種，通常可以用多項式函數來近似原本的函數，稱為插值多項式。在高中一年級的課程就有提到牛頓插值法(Newton’s interpolation)和拉格朗日插值法(Lagrange’s interpolation)。前幾天在跟其他老師聊天時，說到我對這些多項式插值法的感覺，一是將多項式採用不同基底的線性組合，另一則是將拉格朗日多項式與數論的中國剩餘定理(the Chinese Remainder Theorem, CRT)作連結。以下就以基底的線性組合的觀點來談這件事(關於CRT和Lagrange’s interpolation的關係以後有空再寫)：

以不同基底的概念來說，例如欲求在座標平面上通過(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)的多項式函數y＝f(x)，其中degf(x)≦2，則f(x)可作以下假設：

(1)一般式的假設：f(x)＝ax²＋bx＋c

(2)牛頓插值法的假設：f(x)＝A(x－x₁)(x－x₂)＋B(x－x₁)＋C

(3)拉格朗日插值法的假設：f(x)＝α(x－x₁)(x－x₂)＋β(x－x₂)(x－x₃)＋γ(x－x₁)(x－x₃)

這三個其實就是考慮所有deg≦2的多項式構成的向量空間，分別採用B₁={x², x, 1}、B₂={(x－x₁)(x－x₂), (x－x₁), 1}、B₃={(x－x₁)(x－x₂)、(x－x₂)(x－x₃)、(x－x₁)(x－x₃)}為基底的假設，所以這三種假設法都能得到唯一的係數，確實能表示滿足所需條件的多項式。

更仔細來說，基底的座標變換矩陣可以寫成