(1)設f(x)是一個整係數二次多項式，且f(x) = 0有兩個相異整數根0、α。若β為異於0、α的整數且f(f(β)) = 0，設f(x)的首項係數為k，試求序列(k, α, β)所有可能的值。
Sol:
解法一：設f(x) = kx(x－α)，則f(f(β)) = kf(β)(f(β)－α) = k2β(β－α)(kβ(β－α)－α) = 0，又k
≠ 0，β
≠ 0、α，所以kβ(β－α)－α = 0，即kβ2－kαβ－α = 0，因為β為整數，所以β的判別式k2α2 + 4kα = (kα + 2)2－4為完全平方式，設(kα + 2)2－4 = m2，則(kα + 2 + m)(kα + 2－m) = 4，唯一合理的整數解只有m = 0時，kα =－4，故所有可能的解只有(k, α, β) = (1,－4,－2)、(－1, 4, 2)、(2,－2,－1)、(－2, 2, 1)。(k
=±4時，β不是整數)
解法二：設f(x) = kx(x－α)，因為β為異於0、α的整數且f(f(β)) = 0，所以f(β) = α，即kβ(β－α) = α，移項得kβ2= α(kβ
+ 1)，所以kβ + 1是kβ2的因數，但由輾轉相除法原理知，(kβ2, kβ + 1) =
(kβ + 1, β) = 1，所以kβ + 1 = ±1，故kβ =－2或0(0不合)，代回f(β) = α，即可得所有可能的解只有(k, α, β) = (1,－4,－2)、(－1, 4, 2)、(2,－2,－1)、(－2, 2, 1)。(2)設f(x)是一個整係數三次多項式，且f(x) = 0有三個相異整數根0、α、β。其中α > β。若γ為異於0、α、β的整數且f(f(γ)) = 0，設f(x)的首項係數為k，試求序列(k, α, β, γ)所有可能的值。
Sol:
設f(x) = kx(x－α)(x－β)，因為γ為異於0、α、β的整數且f(f(γ)) = 0，所以f(γ) = α或β。若不考慮α和β的大小，不失一般性，可假設f(γ) = α。即kγ(γ－α)(γ－β) = α，移項得kγ2(γ－β) = α(kγ(γ－β) + 1)，所以kγ(γ－β) + 1是kγ2(γ－β)的因數，但kγ2(γ－β)和kγ(γ－β) + 1互質，所以kγ(γ－β) + 1 = 1或－1。
若kγ(γ－β) + 1 = 1，則k = 0或γ = 0或γ = β，均不滿足題意。
若kγ(γ－β) + 1 =－1，則kγ(γ－β) =－2……①，代回kγ(γ－α)(γ－β) = α，得α = 2γ……②。
故滿足①和②的所有整數解，再考慮α > β及α、β
≠ 0的條件，則共有8組解：
(k, α, β, γ) = (1, 3, 2, 1)、(1,－2,－3,－1)、(－1, 2,－1, 1)、(1, 4, 3, 2)、(1,－3,－4,－2)、(－1, 4, 1, 2)、(－1, 1,－2,－1)、(－1,－1,－4,－2)
(3)試證，若f(x)是一個整係數n次多項式且沒有常數項，其中n≧5，且f(x) = 0有n個相異整數根，則不存在異於f(x) = 0的所有根的整數γ，使得f(f(γ)) = 0。
Sol:
令f(x) = kx(x－α1)(x－α2)…(x－αn)，其中α1、α2、…、αn 為異於0的相異整數，k
≠ 0，n≧4。
假設f(f(γ)) = 0，其中γ
≠ 0、α1、α2、…、αn且γ為整數，則f(γ) = αi，其中i =1~n，不失一般性，假設f(γ) = α1，則kγ(γ－α1)(γ－α2)…(γ－αn) = α1，移項得kγ2(γ－α2)…(γ－αn) = α1(kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1)，故kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1為kγ2(γ－α2)…(γ－αn)的因數，但kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1和kγ2(γ－α2)…(γ－αn)互質，所以kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1 = ±1。
若kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1 = 1，則k = 0或γ = 0、α1、α2、…、αn，均不合。
若kγ(γ－α2)…(γ－αn) + 1 =－1，則kγ(γ－α2)…(γ－αn) =－2：
如果n≧5，則γ－α2、…、γ－αn至少有兩個同為1或－1，矛盾。
如果n = 4，因為要使γ－α2、γ－α3、γ－α4的值均不同，則只能γ = ±1，且γ－α2、γ－α3、γ－α4必有其中兩個為1和－1，但都會導致α2、α3、α4其中之一為0，矛盾。
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