Kyle's blog (廖培凱)
從一些書、文章、上課的內容中,我去思考、整理出一些關於數學的小東西,雖然功力有限,但至少我可以回顧,當然也樂於與人分享。
2013年10月21日 星期一
兩道簡單的幾何題目
好久沒經營這個blog了,把前陣子校內競賽自己設計覺得還蠻喜歡的預選題(可惜沒被選上)放一些上來。
【題】設
為一圓的直徑,
A
1
、
A
2
、…、
A
n
為圓上的點,對於所有的
i
=
1
~
n
,作
,其中
D
i
為垂足,若
,試證:
Pf
:
對於所有的
i
=
1
~
n
,因為
A
i
在圓上,所以∠
PA
i
Q
=
90
°,故
,且由母子相似性質知,
,
,
及已知條件
,
可得
由於
,
i
=
1
~
n
,所以
。故
得證□
其實命題時上面這個題目的想法是從
猜拳輸、贏的平方和與標準差
出來的,簡單對照一下,就可以發現它的關聯了。
【題】
設三角形
ABC
的邊長分別為
a
、
b
、
c
,外接圓半徑長為
R
,內切圓半徑長為
r
,三角形
DEF
的三邊長分別為
a
+
b
、
b
+
c
、
c
+
a
,試求三角形
DEF
的內切圓半徑長。
Sol:
設三角形
DEF
的內切圓半徑為
r
’
,則三角形
DEF
的面積等於
(
a
+
b
+
c
)
r
’
,又由海龍公式可知三角形
DEF
的面積等於
,所以
。又因三角形
ABC
面積等於
移項得
,所以
。
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