圓與根軸(課堂筆記)

在坐標平面上給一定點(h, k)(圓心)和一定值r(半徑)，可以決定一圓(x − h)² + (y − k)² = r²，設展開後為x² + y² + dx + ey + f = 0(其中(h, k) = ( −d/2, −e/2), 4r² = d² + e² − 4f)，當然可觀察出若二元二次方程式ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0，x²項係數和y²項係數相等(a = c≠0)，且xy項係數為0(b = 0)，d² + e² − 4f > 0時，圖形為一圓，d² + e² − 4f = 0時，圖形為一點(h, k)，d² + e² − 4f < 0時無圖形。

因此若圓C₁: x² + y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0和圓C₂: x² + y² + d₂x + e₂y + f₂ = 0的線性組合

Γ: k(x² + y² + d₁x + e₁y + f₁) + l(x² + y² + d₂x + e₂y + f₂) = 0

的圖形也會滿足x²項係數和y²項係數相等(= k + l)，xy項係數為0，則Γ的圖形很有機會是一個圓。

若圓C₁和圓C₂有兩個交點A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，顯然將(x₁, y₁)和(x₂, y₂)代入Γ，無論k和l的值為何，方程式的等號均會成立。所以Γ的圖形必通過A、B兩點，換句話說，若Γ的圖形為一圓，則就是通過A、B兩點的圓，或說是圓心在的中垂線上的圓。這就是「圓系」的概念。

但若是k + l = 0，例如k = 1, l = −1，則Γ: (d₁ − d₂)x + (e₁ − e₂)y + (f₁ − f₂) = 0為一直線，當然也通過A、B兩點，故Γ的圖形為。用另一觀點來看，若點P(x, y)滿足(d₁ − d₂)x + (e₁ − e₂)y + (f₁ − f₂) = 0，即滿足

x² + y² + d₁x + e₁y + f₁ = x² + y² + d₂x + e₂y + f₂

，即

(x − h₁)² + (y − k₁)² − r₁² = (x − h₂)² + (y − k₂)² − r₂²

其中(h₁, k₁)和r₁是圓C₁的圓心和半徑，(h₂, k₂)和r₂是圓C₂的圓心和半徑，而(x − h₁)² + (y − k₁)²就是點P(x, y)到圓C₁的圓心(h₁, k₁)的距離平方，所以(x − h₁)² + (y − k₁)² − r₁²就是點P(x, y)到圓C₁的切線段長的平方。所以上式的意思即表示：Γ為滿足到兩圓的切線段長(的平方)相等的圖形。因為Γ上的點都是滿足方程式(x − h₁)² + (y − k₁)² − r₁² = (x − h₂)² + (y − k₂)² − r₂²的根，所以將Γ稱為圓C₁和圓C₂的「根軸」。

     

有學生問，若點P(x, y)在上，即在兩圓內，就沒有通過P點的切線，那「根軸」又代表什麼意思呢？實際上，若回想國中所學的切割線性質、圓外冪性質、圓內冪性質，可以發現：

若P點在圓外，則，其中D、E分別為點P到圓的最短和最長距離；若P點在圓內，作一以P點為中點的弦，因為

x² + y² + dx + ey + f = (x − h)² + (y − k)² − r² =

因此，也可將Γ上的點視為分別到圓C₁和圓C₂的最短與最長距離的乘積相等的點。

      

(當然我覺得這樣的解釋只是強加一個幾何概念到一個「值」上，實際上它就是滿足一個方程式的點，不過這樣的講法，無論圓C₁和圓C₂是相交於兩點或外切、內切、外離、內離，就都適用了。)

如果兩圓沒有相交，怎麼找出根軸的位置呢？一樣的，從圓外冪性質和切割線性質可知，任作一圓C與兩圓C₁和C₂分別交於A、B和C、D，則和的交點P就會在根軸上。所以如此方式，找出(根軸上的)兩點P₁、P₂，則即為根軸。